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演算法設計技巧與分析答案-ag真人国际官网

發布時間: 2024-06-24 00:06:11

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演算法設計技巧與分析里第一章的題目求解答

n!/2^n n^(n/2) =θ(n!/2^n)


因為

所以

n!/2^n >> n^(n/2)

❸ 請教高人 遞歸演算法編寫思路技巧

一個子程序(過程或函數)的定義中又直接或間接地調用該子程序本身,稱為遞歸。遞歸是一種非常有用的程序設計方法。用遞歸演算法編寫的程序結構清晰,具有很好的可讀性。遞歸演算法的基本思想是:把規模大的、較難解決的問題變成規模較小的、易解決的同一問題。規模較小的問題又變成規模更小的問題,並且小到一定程度可以直接得出它的解,從而得到原來問題的解。
利用遞歸演算法解題,首先要對問題的以下三個方面進行分析:
一、決定問題規模的參數。需要用遞歸演算法解決的問題,其規模通常都是比較大的,在問題中決定規模大小(或問題復雜程度)的量有哪些?把它們找出來。
二、問題的邊界條件及邊界值。在什麼情況下可以直接得出問題的解?這就是問題的邊界條件及邊界值。
三、解決問題的通式。把規模大的、較難解決的問題變成規模較小、易解決的同一問題,需要通過哪些步驟或等式來實現?這是解決遞歸問題的難點。把這些步驟或等式確定下來。
把以上三個方面分析好之後,就可以在子程序中定義遞歸調用。其一般格式為:
if 邊界條件 1 成立 then
賦予邊界值 1
【 elseif 邊界條件 2 成立 then
賦予邊界值 2
┇ 】
else
調用解決問題的通式
endif
例 1 : 計算勒讓德多項式的值

x 、 n 由鍵盤輸入。
分析: 當 n = 0 或 n = 1 時,多項式的值都可以直接求出來,只是當 n > 1 時,才使問題變得復雜,決定問題復雜程度的參數是 n 。根據題目提供的已知條件,我們也很容易發現,問題的邊界條件及邊界值有兩個,分別是:當 n = 0 時 p n (x) = 1 和當 n = 1 時 p n (x) = x 。解決問題的通式是:
p n (x) = ((2n - 1)p n - 1 (x) - (n - 1)p n - 2 (x)) / n 。
接下來按照上面介紹的一般格式定義遞歸子程序。
function pnx(n as integer)
if n = 0 then
pnx = 1
elseif n = 1 then
pnx = x
else
pnx = ((2*n - 1)*pnx(n - 1) - (n - 1)*pnx(n - 2)) / n
endif
end function
例 2 : hanoi 塔問題:傳說印度教的主神梵天創造世界時,在印度北部佛教聖地貝拿勒斯聖廟里,安放了一塊黃銅板,板上插著三根寶石針,在其中一根寶石針上,自下而上地放著由大到小的 64 個金盤。這就是所謂的梵塔( hanoi ),如圖。梵天要求僧侶們堅持不渝地按下面的規則把 64 個盤子移到另一根針上:

(1) 一次只能移一個盤子;
(2) 盤子只許在三根針上存放;
(3) 永遠不許大盤壓小盤。
梵天宣稱,當把他創造世界之時所安放的 64 個盤子全部移到另一根針上時,世界將在一聲霹靂聲中毀滅。那時,他的虔誠的信徒都可以升天。
要求設計一個程序輸出盤子的移動過程。
分析: 為了使問題更具有普遍性,設共有 n 個金盤,並且將金盤由小到大依次編號為 1 , 2 ,…, n 。要把放在 s(source) 針上的 n 個金盤移到目的針 o(objective) 上,當只有一個金盤,即 n = 1 時,問題是比較簡單的,只要將編號為 1 的金盤從 s 針上直接移至 o 針上即可。可定義過程 move(s,1,o) 來實現。只是當 n>1 時,才使問題變得復雜。決定問題規模的參數是金盤的個數 n ;問題的邊界條件及邊界值是:當 n = 1 時, move(s,1,o) 。
當金盤不止一個時,可以把最上面的 n - 1 個金盤看作一個整體。這樣 n 個金盤就分成了兩個部分:上面 n - 1 個金盤和最下面的編號為 n 的金盤。移動金盤的問題就可以分成下面三個子問題(三個步驟):
(1) 藉助 o 針,將 n - 1 個金盤(依照上述法則)從 s 針移至 i(indirect) 針上;
(2) 將編號為 n 的金盤直接從 s 針移至 o 針上;
(3) 藉助 s 針,將 i 針上的 n - 1 個金盤(依照上述法則)移至 o 針上。如圖

其中第二步只移動一個金盤,很容易解決。第一、第三步雖然不能直接解決,但我們已經把移動 n 個金盤的問題變成了移動 n - 1 個金盤的問題,問題的規模變小了。如果再把第一、第三步分別分成類似的三個子問題,移動 n - 1 個金盤的問題還可以變成移動 n - 2 個金盤的問題,同樣可變成移動 n - 3 ,…, 1 個金盤的問題,從而將整個問題加以解決。
這三個步驟就是解決問題的通式,可以以過程的形式把它們定義下來:
hanoi(n - 1,s,o,i)
move(s,n,o)
hanoi(n - 1,i,s,o)
參考程序如下:
declare sub hanoi(n,s,i,o)
declare sub move(s,n,o)
input "how many disks?",n
s = 1
i = 2
o = 3
call hanoi(n,s,i,o)
end
sub hanoi(n,s,i,o)
rem 遞歸子程序
if n = 1 then
call move(s,1,o)
else
call hanoi(n - 1,s,o,i)
call move(s,n,o)
call hanoi(n - 1,i,s,o)
endif
end sub
sub move(s,n,o)
print "move disk";n;
print "from";s;"to";o
end sub

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